CTC Loss学习笔记
语音识别时，人说一句“Hello”，尽管发音很标准，但是由于有停顿、换气或是其他原因，音频信息中的“H”音很容易对不上文本信息中的“H”。这就需要预处理对齐问题，但是用人工的方法手动对齐比较音频信息和文本信息，需要耗费大量的人力财力。CTC就是处理这一类对齐问题而生的技术。
基本过程
在语音识别中，CTC会逐帧辨别发的什么音。如果通过发音辨别出了一个字母，那么这一帧就标记为这个字母；如果没声音就标记为blank，表示这是两个单词中间的空格；如果分辨不出来是啥，就标记为ϵ (ctc blank)。所以将“Hello”的音频信息进行辨别后，会得到的结果可能会是：“ϵϵHellϵϵlloϵ”，也可能是“Heeϵϵllϵϵlooϵϵ”，还有其他很多种可能。
ctc的处理过程分为2步：
- 将识别结果中相邻的重复字符删掉，那么“ϵϵHellϵϵlloϵ”就变成了“ϵHelϵloϵ”，“Heeϵϵllϵϵlooϵϵ”就变成了“Heϵlϵloϵ”；
- 删去ϵ，“ϵHelϵloϵ”和“Heϵlϵloϵ”就都变成了“Hello”。
我们的目的是求出P(lable|x)，其中x是输入的数据，lable是标签数据，即正确的输出。P(lable|x)表示的是，如果在输入数据为x的条件下，能够正确输出标签数据的概率有多大，这个概率肯定是越大越好，如果P(lable|x)=1，那么就说明百分之百可以正确输出。
Loss的定义如下，如果P(lable|x)越接近1，Loss就接近于0；如果P(lable|x)越接近0，Loss就会越大：
\[ Loss=-\ln P(lable|x) \]
P(lable|x)如何计算呢？从上面ctc的处理过程可以看出来，有很多种序列最终都可以处理为标签数据，“ϵϵHellϵϵlloϵ”就是一条可以被处理为“Hello”的序列，记其为seq，那么产生seq的概率有多少呢？这里\(y_c^t\)表示在第t时间步生成字符c的概率有多少，那么要生成seq这么长的序列，就要把生成每个字符的概率乘起来。
\[ P(seq|x)=y_\epsilon^1 \times y_\epsilon^2 \times y_H^3 \times y_e^4 \times y_l^5 \times y_l^6 \times y_\epsilon^7 \times y_\epsilon^8 \times y_l^9 \times y_l^{10} \times y_o^{11} \times y_\epsilon^{12} \]
如果再用π来表示一个序列的集合，这个集合中所有的序列和seq一样，经过ctc处理过后，都可以变为标签数据。那么将这个集合中所有序列的概率加起来，就是P(lable|x)。
\[ P(lable|x)=\sum_{\pi}P(\pi|x) \]
可是，π集合中有多少序列呢，茫茫多的序列都可以转为lable。如果lable是“cat”的话，那么可以转为“cat”的序列数，可以通过下图可以看出来，白色节点表示识别为字母，黑色节点表示识别不出来是个啥，标记为“ϵ”（图片来自网络）：
每一条路径都是一种语音识别的结果，而且此结果可以经由ctc处理后转换为标签数据。这才3个字母，就这么条路径，如果成百上千的单词，一一计算每种可能的话，这个计算量很大。 # 使用动态规划优化
动态规划的思想是自顶向下写一个递归式，然后自底向上算出来。
如上文所述，在t个时间步走到字符“u”的路线有很多条，如果seq是其中一条路线，那么其概率为：
$$ P(seq|x)=\prod_{i=1}^{t} y^i_{{seq}_i} $$这里定义一个函数α(t,u)，表示在t个时间步走到字符“u”的概率。用π表示所有可以在t个时间步走到字符“u”的路线集合，那么有：
$$ \alpha(t,u)=\sum_{\pi}\prod_{i=1}^{t} y^i_{\pi_i} $$再看看刚刚开始那个例子“Hello”，如果当前在第t个时间步，判别成了一个字符“l”，那么在第t-1个时间步上，可以是哪些字符呢？
这要分2种情况讨论：
第一种情况
如果“Hello”的第一个“l”，也就是"Hello"标红的那个“l”，那么在第t-1个时间步上，可以是“e”、“ϵ”、“l”三种情况；
所以要求第t个时间步走到“l”的概率，就要先求出在t-1个时间步走到“e”、“ϵ”、“l”的概率，求和之后，再乘以\(y_c^t\)，即：
\[ \alpha(t,u)=y_u^t[\alpha(t-1,u)+\alpha(t-1,u-1)+\alpha(t-1,u-2)] \]
这里u-1和u-2表示字符u的上一个字符和上两个字符。
第二种情况
如果是“Hello”的第二个“l”，也就是“Hello”标红的那个“l”，那么在第t-1个时间步上，只可以是“ϵ”、“l”两种情况。要是算上上面的“l”，那么这两个“l”会合并成1个；如果是在t个时间步上走到了“ϵ”这个字符，那么在t-1个时间步上，也只能是“l”、“ϵ”两种情况。要是也算上上面一个“ϵ”，那么会跨过中间这个“l”，这个字符就不输出了。
所以第t个时间步走到“l”或"ϵ"，只能横着走过来，或从上一个字符过来，概率即： \[ \alpha(t,u)=y_u^t[\alpha(t-1,u)+\alpha(t-1,u-1)] \]
这样递归公式就定义好了，再算一下递归式子的底：
\[ \alpha(1,1)=y_\epsilon^1 \]
\[ \alpha(1,2)=y_h^1 \]
\[ \alpha(1,u)=0 \quad u>2 \]
从这个底开始，使用递推公式自底向上的计算，直至算出\(\alpha(T,lable)+\alpha(T,lable-1)\)，T表示总时间步，所有可以经过ctc转化为“Hello”的序列，最后一个字符可以是“ϵ”也可以是“o”。label表示所最后一个字符是“ϵ”，label-1表示最后一个字符是“o”，这样走出的路线都可以经过ctc转化为“Hello”。
